Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico

Dado um arco trigonométrico AP de medida α, chamam-se cosseno e seno de α a abscissa e a ordenada do ponto P, respetivamente.

Assim, na circunferência trigonométrica, podemos nos referir ao eixo das abscissas como eixo dos cossenos e ao eixo das ordenadas como eixo dos senos.

Dado um arco trigonométrico AP de medida α, com P não pertencente ao eixo das ordenadas, chama-se tangente de α, a ordenada do ponto T, que é a intersecção da reta OP com o eixo das tangentes.

Variação de Sinal do Seno, Cosseno e Tangente

Seno: os pontos de ordenadas positivas são os 1ª e 2ª quadrante e os pontos de ordenadas negativas são os 3ª e o 4ª quadrante.

Cosseno: os pontos de abscissas positivas são os 1ª e 4ª quadrante e os pontos de abscissas negativas são os 2ª e o 3ª quadrante.

Tangente: a tangente positiva para os arcos do 1ª e 3ª quadrante e nagativo para os arcos de 2ª e 4 quadrante.

Circunferência Trigonométrica (Teoria)

Em um plano, considere uma circunferência de raio r unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. Essa estrutura, com as convenções a seguir, é chamada de circunferência trigonométrica.

Origem dos Arcos: é o ponto A(1,0) é a serem medidos na circunferência.

Sentido Horário: é a medido do arco de valor absoluto atribuindo o sinal negativo (–).

Sentido Anti-horário: é a medido do arco de valor absoluto atribuindo o sinal positivo (+).

Quadrantes(Q): são 4 regiões divididas pelo plano cartesiano, onde esses quadrantes são numerados no sentido anti-horário, a partir do ponto A(1,0).

Arcos Trigonométricos

Aos pontos da circunferência trigonométrica associamos medidas em grau ou em radiano, Cada medida associada a um ponto P indicada a medida do arco AP.

 Simetrias

Circunferência Trigonométrica

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Funções Trigonométricas 6

Função Cotangente

É a função que associa a cada número real x, com

x ≠ k·π, sendo k ∈ ℤ,

um único número real y tal que:

f(x) = cotg(x)

Domínio(D): {x ∈ ℝ | x ≠ k·π, com k ∈ ℤ}
Imagem(Im): ℝ
Período: P = π

Exemplos:

f(x) = 2·cotg(5·x)

f(x) = cotg(2·x + π)

 

Estudo do Sinal

1º quadrante: positivo
2º quadrante: negativo
3º quadrante: positivo
4º quadrante: negativo

Obs: a função  f(x) = cotg(x)  é decrescente, enquanto a função  f(x) = –cotg(x)   é crescente.

Paridade

Uma função f: A → B é denominada função ímpar se, e somente se:

f(–x) = – f(x),  ∀ x ∈ A 
f(–x) = cotg(–x) ⟹ f(–x) = –cotg(x)

Gráfico da Função Cotangente

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Funções Trigonométricas 5

Função Secante 

É a função que associa a cada número real x, com

x ≠ (π/2) + k·π, sendo k ∈ ℤ,

um único número real y tal que:

f(x) = sec(x)

Domínio(D): {x ∈ ℝ | x ≠ (π/2) + k·π, com k ∈ ℤ}
Imagem(Im): {y ∈ ℝ| y ≤ –1 ou y ≥ 1}
Período: P = 2 π

Exemplos:

f(x) = 2·sec(3·x)

f(x) = sec(2·x + π)

Estudo do Sinal

1º quadrante: positivo
2º quadrante: negativo
3º quadrante: negativo
4º quadrante: positivo

A função secante é:
i) Crescente: no 1º e 2º quadrante
ii) Decrescente: no 3º e 4º quadrante

Paridade

Uma função f: A → B é denominada função par se, e somente se:

f(–x) =  f(x),  ∀ x ∈ A

f(–x) = sec(–x) ⟹ f(–x) = sec(x)

Gráfico da Função Secante

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Funções Trigonométricas 4

Função Cossecante

É a função que associa a cada número real x, com

x ≠ k·π, sendo k ∈ ℤ,

um único número real y tal que:

f(x) = cossec(x)

Domínio(D): {x ∈ ℝ | x ≠ k·π, com k ∈ ℤ}
Imagem(Im): {y ∈ ℝ| y ≤ –1  ou  y ≥ 1}
Período: P = 2 π

 
Exemplos:

f(x) = 3·cossec(2·x + 1)

     f(x) = 3·cossec(2·x)      

 

Estudo do Sinal

1º quadrante: positivo
2º quadrante: positivo
3º quadrante: negativo
4º quadrante: negativo

A função cossecante é:
i) Crescente: no 2º e 3º quadrante
ii) Decrescente: no 1º e 4º quadrante

Paridade

Uma função f: A → B é denominada função ímpar se, e somente se:

  f(–x) =  –f(x),  ∀ x ∈ A

f(–x) = cossec(–x) ⟹ f(–x) = –cossec(x)  

Gráfico da Função Cossecante

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Funções Trigonométricas 3

Função Tangente  

É a função que associa a cada número real x, com

x ≠ (π/2) + k· π, sendo k ∈ ℤ,

um único número real y tal que:

f(x) = tg(x)

Domínio(D): {x ∈ ℝ | x ≠ (π/2) + k· π}
Imagem(Im): ℝ
Período(P): π

Exemplos:

f(x) = 2·tg(x)

y = tg(2·x) + 1

Estudo do Sinal

1º quadrante: positivo
2º quadrante: negativo
3º quadrante: positivo
4º quadrante: negativo

Obs: o gráfico da função  f(x) = tg(x)  é crescente, enquanto a  função   f(x) = – tg(x)  é decrecente.

Paridade

Uma função f: A → B é denominada função ímpar se, e somente se:

f(–x) = – f(x), ∀ x ∈ A

f(–x) = tg(–x) ⟹ f(–x) = –tg(x)

Gráfico da Função Tangente

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)