Função Logarítmica

Logaritmo

O logaritmo de um número b, na base a, onde a e b são positivos e a é diferente de um, é um número x, tal que x é o expoente de a para se obter b, então:

log_ab = x ⇔ a^x = b, sendo b > 0, a > 0, a ≠ 1

Onde:

a: base do logaritmo.

b: logaritmando.

x: logaritmo.

Ex:

log₂16 = 4 ⇔ 2⁴ = 16

log₄256 = 4 ⇔ 4⁴ = 256

Propriedades do Logaritmo

i) log_aa = 1

ii) log_a1 = 0

iii) log_ab^c = c×log_ab

iv) log_aa^c = c

v) a^(log_a^b) = b

vi) log_a(b×c) = log_ab + log_ac  

vii) log_a(b÷c) = log_ab – log_ac  

viii) log_ab = log_kb ÷ log_ka (k ∈ ℝ₊^* e k ≠ 1)

Função Logaritmo

Definição:

Chama-se função logarítmica f : ℝ₊^* → ℝ, tal que

f(x) = log_ax

onde, a representa a base do logaritmo (a ∈ ℝ₊^* e a ≠ 1) definida para todo x real.

Gráfico da Função Logaritmo

Crescente: a função logaritmo é crescente quando a > 1.

Decrescente: a função logaritmo é decrescente quando 0 < a < 1.

Gráfico da Função Logarítmica

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Função Exponencial

Definição:

É denominada função exponencial toda função f : ℝ → ℝ₊^*, dada por

f(x) = a^x

onde, a representa a base (a ∈ ℝ₊^* e a ≠ 1) definida para todo x real.

Gráfico da Função Exponencial

Crescente: a função exponencial é crescente quando a > 1.

Decrescente: a função exponencial é decrescente quando 0 < a < 1.

Gráfico da Função Exponencial

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Função Modular

Seja f: ℝ → ℝ uma função que associa cada número real x o seu módulo. Assim:

Ex:

f(x) = |x + 12|

f(x) = –|2x – 3|

y = –|x|+ 9

y = |x² + 2x – 1|

f(x) = |2x²|– 8

Gráfico da Função Modular (Função Quadrática)

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Gráfico da Função Modular (Função Afim)

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Função Quadrática

Definição:

Chama-se função do 2° Grau ou Função Quadrática, de domínio ℝ e contradomínio ℝ, a função:

f(x) = ax² + bx + c

onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

a: é o coeficiente de x².

b: é o coeficiente de x.

c: é o termo independente.

Obs: A função é completa quando os valores de a, b e c não são nulos. A função é incompleta quando os valores de b ou c são nulos.

Ex:

y = x² + 2x – 1

f(x) = 2x² – 8

As raízes da Função Quadrática

Para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar a f(x) a zero. Teremos então:

ax² + bx + c = 0

Para encontrar as raízes da equação são determinadas utilizando-se a fórmula de Bhaskara:

Quando o valor de delta for maior que zero:

Δ > 0: a função terá duas raízes reais e distintas;

Quando o valor de delta for igual à zero:

Δ = 0: a função terá duas raízes reais e iguais;

Quando o valor de delta for menor que zero:

Δ < 0: a função não apresentará raízes reais.

Concavidade da Parábola:

a > 0: concavidade voltada para cima.

a < 0: concavidade voltada para baixo.

Vértice da Parábola

o ponto mínimo se a concavidade estiver voltada para cima (a > 0).

o ponto máximo se a concavidade estiver voltada para baixo (a < 0).

Gráfico da Função Quadrática

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Função do 1º Grau

Definição:

Chama-se função do 1º grau a função f: ℝ → ℝ definida por

f(x) = ax + b

com a e b números reais e a ≠ 0.

a: é o coeficiente angular da reta e determina sua inclinação.

b: é o coeficiente linear da reta e determina a intersecção da reta com o eixo y.

A Função do 1º Grau pode ser classificada em:

I) Função Constante

Se a = 0, temos y = b, b ∈ ℝ. Assim, para qualquer valor de x, o valor de y ou f(x) será sempre b.

II) Função Identidade

Se a = 1 e b = 0, então y = x. Nesta função, x e y têm sempre os mesmos valores. A reta y = x ou f(x) = x é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.

Mas, se a = –1 e b = 0, temos então y = –x. A reta determinada por esta função é a bissetriz dos quadrantes pares.

III) Função Linear

É a função do 1º grau quando b = 0, a ≠ 0 e a ≠ 1, a e b ∈ ℝ.

Exemplos:

f(x) = 7x  

f(x) = –3x + b

y = (1/5)x

IV) Função Afim

É a função do 1º grau quando a ≠ 0, b ≠ 0, a e b ∈ ℝ.

Exemplos:

f(x) = 7x + 4

f(x) = –x – 7

y = –x + 3

Gráfico da função do 1º Grau

Crescente: se a é um número positivo (a > 0).

Decrescente: se a é um número negativo (a < 0).

Gráfico da Função do 1º Grau

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Razões Trigonométricas

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Raio do Círculo de Apolonius

O diâmetro do círculo de Apolonius é a distância entre os conjugados harmônicos de segmento AB de comprimento L na razão k maior que zero e diferente de um.

O raio do círculo de Apolonius é dado por

Um triângulo de lados a, b e c, temos

Sendo que,

Substituindo k e L na fórmula Raio do Círculo de Apolonius, temos