Raio do Círculo de Apolonius

O diâmetro do círculo de Apolonius é a distância entre os conjugados harmônicos de segmento AB de comprimento L na razão k maior que zero e diferente de um.

O raio do círculo de Apolonius é dado por

Um triângulo de lados a, b e c, temos

Sendo que,

Substituindo k e L na fórmula Raio do Círculo de Apolonius, temos

Círculo de Apolonius

É o lugar geométrico dos pontos C tais que a razão CA/CB é igual a k, sendo k constante e A e B pontos fixos.

Os pontos D e E pertencente ao lugar que são os pontos que dividem o segmento AB interiormente e exteriormente na razão k.

Seja C um ponto qualquer do lugar geométrico. 

Como

Logo, CD é bissetriz interna do triângulo CAB. Da mesma forma, temos

Portanto, CB é bissetriz externa do ângulo C do triângulo CAB.

Como CD é CE são perpendiculares e os pontos D e E são fixos, o lugar geométrico de todos os pontos C é círculo de diâmetro DE, sendo D e E os conjugados harmônicos de segmento AB na razão k.

Divisão Harmônica

Um segmento AB dividido harmonicamente por dois pontos P e Q (um interno e outro externo), na mesma razão k quando 

Observação
A razão k da divisão harmônica é menor, maior ou igual a 1 (um)

Propriedade
Em uma divisão harmônica existe a relação

1º) Caso (k > 1)
Demonstração

ii) 1º caso: k<1

Demonstração

iii) Na divisão harmônica a relação

sendo O ponto médio do segmento AB.

Demonstração

Divisão de um Segmento em uma Razão

1) Dizemos que o ponto M dividi interiormente o segmento AB na razão k quando 

1.1) Teorema

Dado em segmento AB e uma razão k, existe apenas um ponto M que dividi interiormente o segmento nesta razão

Demonstração

Consideremos um ponto M' que divida interiormente o segmento na mesma razão. Temos, então

 
2) Dizemos que o ponto N divide exteriormente o segemento AB na razão k quando

2.1) Teorema

Dado um segmento AB e uma razão k, existe apenas um ponot N que dividi exteriormente o segmento nesta razão

Demonstração

Consideremos um ponto N' que divida exteriormente o segmento na razão. Temos, então

 

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